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中考數學五大數學思想方法 你都掌握好了哪些

來源:新浪教育  作者:   2018-03-15 09:53:06
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  很多考生都想學好數學,但苦于不知道如何“下手”,經;ㄙM大量時間去解題做題,效果卻差強人意,很難提高數學成績。

  知識內容和方法技巧的載體是題目,要想掌握好相應的數學知識和方法技巧,就需要去解一定量的題目。不過,大家一定要充分認識到一點,不是你解的題目越多,就會掌握好這些知識內容和方法技巧。

  如很多人只知道數學公式、定理等,卻很少知道數學思想方法是數學學習的精髓。無論是中考數學還是高考數學,除了考查大家知識掌握程度,更重要考查大家應用數學知識解決問題的能力,充分運用數學思想去分析、解決具體的問題。

  因此,如何想要在中考數學中取得優異的成績,就要加深對數學思想方法的理解。初中階段常用到的數學思想有:數形結合思想、分情況討論思想、化歸思想、函數與方程思想、建立數學模型思想等。

  中考數學常見數學思想方法一:數形結合思想方法

  數形結合思想是說數的問題可以通過對圖形的分析來解決,形的問題也可通過對數的研究來思考。

  典型例題分析1:

  在梯形OABC中,CB∥OA,∠AOC=60°,∠OAB=90°,OC=2,BC=4,以點O為原點,OA所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系,另有一邊長為2的等邊△DEF,DE在x軸上(如圖(1)),如果讓△DEF以每秒1個單位的速度向左作勻速直線運動,開始時點D與點A重合,當點D到達坐標原點時運動停止。

  (1)設△DEF運動時間為t,△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S,求S關于t的函數關系式。

  (2)探究:在△DEF運動過程中,如果射線DF交經過O、C、B三點的拋物線于點G,是否存在這樣的時刻t,使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由。

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考點分析:
考點分析:

  二次函數綜合題。

  題干分析:

  (1)根據F與B重合前后及E與A重合前后,分三種情況求S關于t的函數關系式;

  (2)依題意得D(4﹣t,0),求出直線OC解析式,根據DF∥OC確定直線DF解析式,再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等,求出G點縱坐標,根據G點在拋物線上求G點橫坐標,代入直線DF解析式求t,判斷是否符號t的取值范圍即可。

  解題反思:

  本題考查了二次函數的綜合運用。關鍵是根據直角梯形的特點求頂點坐標,確定拋物線解析式,根據面積關系,列方程求解。

  中考數學常見數學思想方法二:分類討論思想

  分情況討論思想就是當一個問題用統一的方法不能繼續做下去的時候,需要對所研究的問題分成若干個情況分別進行研究的思想方法。

  典型例題分析2:

  如圖1,已知正方形OABC的邊長為2,頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點。P(0,m)是線段OC上一動點(C點除外),直線PM交AB的延長線于點D。

  (1)求點D的坐標(用含m的代數式表示);

  (2)當△APD是等腰三角形時,求m的值;

  (3)設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E,過點O作直線ME的垂線,垂足為H(如圖2),當點P從點O向點C運動時,點H也隨之運動。請直接寫出點H所經過的路徑長。(不必寫解答過程)

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  二次函數綜合題;代數幾何綜合題;分類討論。

  題干分析:

  (1)證明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可證明DB=2﹣m,AD=4﹣m,從而求解;

  (2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三種情況,根據勾股定理即可求解;(3)運動時,路線長不變,可以取當P在O點是,求解即可。

  解題反思:

  本題是二次函數的綜合題型,其中涉及的到大知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法,在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果。

  中考數學常見數學思想方法三:化歸思想方法

  化歸思想是說在解決實際問題時常常需要進行等價轉換,把生疏的題目轉化成熟悉的題目,通過特殊到一般,歸納出事物的規律,并能進行適當的變式變形。

  典型例題3:

  △ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,

  (1)要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法(如圖1),比較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積大?請說明理由。

  (2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個正方形面積和為s2(如圖2),則s2=1/2;再在余下的四個三角形中,用同樣方法分別剪取正方形,得到四個相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個正方形面積和為s3,繼續操作下去…,則第10次剪取時,s10=1/2;

  (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和。

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  正方形的性質;勾股定理;等腰直角三角形;規律型。

  題干分析:

  (1)分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積,進行比較即可;

  (2)按圖1中甲種剪法,可知后一個三角形的面積是前一個三角形的面積的1/2,依此可知結果;

  (3)探索規律可知:Sn=1/2n-1,依此規律可得第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和。

  解題反思:

  本題考查了正方形的性質,勾股定理,等腰直角三角形的性質,得出甲、乙兩種剪法,所得的正方形面積是解題的關鍵。

  中考數學常見數學思想方法四:函數與方程思想方法

  函數與方程思想就是對于有些數學問題要學會用變量和函數來思考,學會轉化未知與已知的關系。

  典型例題4:

  如圖所示,二次函數y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A(3,0),另一個交點為B,且與y軸交于點C。

  (1)求m的值;

  (2)求點B的坐標;

  (3)該二次函數圖象上有一點D(x,y)(其中x>0,y>0)使S△ABD=S△ABC,求點D的坐標。

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  二次函數綜合題;代數幾何綜合題;方程思想。

  題干分析:

  (1)由二次函數y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A(3,0),利用待定系數法將點A的坐標代入函數解析式即可求得m的值;

  (2)根據(1)求得二次函數的解析式,然后將y=0代入函數解析式,即可求得點B的坐標;

  (3)根據(2)中的函數解析式求得點C的坐標,由二次函數圖象上有一點D(x,y)(其中x>0,y>0),可得點D在第一象限,又由S△ABD=S△ABC,可知點D與點C的縱坐標相等,代入函數的解析式即可求得點D的坐標。

  解題反思:

  此題考查了待定系數法求二次函數的解析式,考查了一元二次方程的解法以及三角形的面積問題等知識。此題綜合性較強,但難度不大,屬于中檔題,解題的關鍵是掌握二次函數與一元二次方程的關系,注意數形結合與方程思想的應用。

  中考數學常見數學思想方法五:數學建模思想方法

  數學建模思想是說在具體的問題分析中,盡量通過觀察,抽象出主要的參量、參數與有關的定律、原理間建立起的某種關系。這樣,一個具體的實際問題就轉化為簡化明了的一個數學模型。

  典型例題分析5:

  某班到畢業時共結余班費1800元,班委會決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀念品,其余資金用于在畢業晚會上給50位同學每人購買一件T恤或一本影集作為紀念品。已知每件T恤比每本影集貴9元,用200元恰好可以買到2件T恤和5本影集。

  (1)求每件T恤和每本影集的價格分別為多少元?

  (2)有幾種購買T恤和影集的方案?

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  一元一次不等式組的應用;二元一次方程組的應用;應用題。

  題干分析:

  (1)通過理解題意可知本題存在兩個等量關系,即每件T恤比每本影集費9元,用200元恰好可以買到2件T恤和5本影集。根據這兩個等量關系可列出方程組。

  (2)本題存在兩個不等量關系,即設購買T恤t件,購買影集(50﹣t)本,則1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270,根據t為正整數,解出不等式再進行比較即可。

  解題反思:

  本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的實際應用,問題(1)在解決時只需認真分析題意,找出本題存在的兩個等量關系,根據這兩個等量關系可列出方程組。問題(2)需利用不等式解決,另外要注意,同實際相聯系的題目,需考慮字母的實際意義,從而確定具體的取值。再進行比較即可知道方案用于購買老師紀念品的資金更充足。

  面對中考復習,除了要掌握知識內容,更要對數學思想方法進行梳理、總結,逐個認識它們的本質特征、思維程序和操作程序。結合典型題目進行訓練,能夠真正適應中考命題。

  作者:吳國平老師

[ 責任編輯: 李謙 ]

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